Annotation – Clause describes formation of mathematical models of separate power systems and interconnected power system as uniform process with use of information interchange between dispatching control levels.

Key words - state estimation, dispatching control, information exchange.

Эффективность диспетчерского управления во многом определяется возможностью превентивной проверки последствий принимаемых решений. Особенно остро потребность в средствах, обеспечивающих моделирование различных схемно-режимных ситуаций, стала ощущаться в последнее время в связи с введением рыночных отношений, оказывающих существенное влияние на формирование спроса и предложения, т. е. потребления и генерации. Ответы на возникающие вопросы могут быть найдены путем решения задач имитационного моделирования, к которым следует отнести проверку допустимости, устойчивости и надежности существующего или планируемого режимов, а также соответствия режима критериям оптимальности.

Качество решения перечисленных задач во многом определяется адекватностью используемых математических моделей режимов энергосистем. Формирование математических моделей текущего или характерных ретроспективных режимов возлагается на задачу оценивания состояния [1, 2].

В настоящее время программы оценивания состояния широко используются при решении задач, связанных с краткосрочным планированием режимов и оперативным управлением. Кроме того, оценивание состояния часто является составной частью систем, функционирующих в автоматическом режиме, таких как: советчик диспетчера, централизованная система противоаварийной автоматики и др.

Информацию, необходимую для формирования моделей, можно разбить на условно постоянную и оперативную. К первой можно отнести параметры отдельных элементов схемы замещения, а также описания схем первичных коммутаций станций и подстанций. Оперативную информацию составляют телеизмерения и телесигналы, которые поступают в программу оценивания состояния из оперативно – информационных комплексов (ОИК). Доступ к ретроспективной информации обеспечивается тем, что обязательной функцией любого ОИК является ведение архивов телеизмерений и телесигналов.

По мере накопления опыта эксплуатации программ оценивания режимов, обнаружились некоторые проблемы. Как правило, в ОИК поступают измерения и сигналы о параметрах режима с собственных объектов. Информации от соседних энергосистем в большинстве случаев явно недостаточно для создания модели, обеспечивающей качественное решение задач оперативного управления. Кроме того, объем информации, которым располагают при оценивании на уровне энергообъединений, существенно меньше того объема, который используется в энергосистемах. И в том, и в другом случае можно поставить задачу ретрансляции необходимого объема измерений из энергосистем, которые этой информацией располагают. Однако такое решение вряд ли можно будет считать эффективным. Даже если получить необходимую информацию в полном объеме, возникает проблема формирования и поддержания в актуальном состоянии расчетных схем, некоторые фрагменты которых технологи знают плохо, поскольку они находятся не в их ведомственном подчинении и управлении.

В связи со сказанным возникла задача формирования расчетных моделей режимов энергосистем по иерархическому принципу [3]. Такой подход предполагает обмен информацией между различными уровнями иерархии диспетчерского управления в энергетике. Технически решение задачи обеспечивается существенным расширением возможностей межмашинного обмена как с использованием технических средств Интернет, так и выделенных высокоскоростных каналов.

Несомненным преимуществом иерархического подхода является иерархическая система ответственности, при которой каждый участник единой системы отвечает за качество формирования описания собственного объекта, его сопровождение, качество используемой телеметрической информации и обеспечение необходимого объема телеизмерений и телесигналов.

МЕТОДИКА И АЛГОРИТМ ОДНОУРОВНЕВОГО ОЦЕНИВАНИЯ

Модель установившегося режима формируется на основе телеметрической информации в результате решения следующих задач:

• синтеза расчетной схемы;
• проверки наблюдаемости режима;
• отбраковки грубых ошибок в измерениях;
• расчета режима в соответствии с принятым критерием оценивания.

Задача синтеза расчетной схемы решается на основе предварительного описания топологии основной сети и отдельных энергообъектов – электростанций и подстанций. Разработана методика формирования описания схем первичных коммутаций с помощью специализированного графического редактора, который позволяет подготовить изображение схемы, выполнить ее топологический анализ и задать параметры отдельных элементов схемы. В процессе анализа изображений формируются таблицы узлов и ветвей каждой из схем. В качестве ветвей коммутационной схемы выступают выключатели, разъединители и трансформаторы, а в качестве узлов – шины и точки соединения ветвей. Формирование таблиц узлов и ветвей коммутационных схем является внутренней функцией графического редактора и пользователь доступа к их содержимому не имеет. Описания коммутационных схем, как правило, готовятся для наиболее значимых объектов.

При вводе телеметрической информации выключатели устанавливаются в положения, соответствующие поступившим телесигналам. В случае необходимости состояния выключателей и разъединителей могут быть изменены вручную, непосредственным воздействием на изображение элемента на схеме.

Синтез расчетной схемы начинается с обработки описаний схем первичных коммутаций. В результате формируется некоторое число узлов и ветвей. При этом внутренние узлы каждой из коммутационных схем, соединенные включенными ветвями нулевого сопротивления (выключателями и разъединителями) объединяются. Объединение узлов сопровождается преобразованиями, позволяющими получить некоторые эквивалентные параметры элементов, подключенных к внутренним узлам. После завершения обработки схем первичных коммутаций формируемые таблицы расширяются за счет выборки из описания основной схемы энергосистемы тех узлов и ветвей, которые не представлены в описаниях коммутационных схем.

Предположим, расчетная схема, сформированная в результате решения подзадачи синтеза, содержит k узлов, а телеметрическая система обеспечивает поступление n замеров. Измеряются, как правило, потоки активных и реактивных мощностей по линиям электропередач и трансформаторам, генерации и нагрузки активных и реактивных мощностей и напряжения на шинах. В качестве искомых параметров расчета выступают продольные и поперечные составляющие комплексных напряжений в узлах схемы. Если расчетная схема состоит из m подсистем, то для вычисления k продольных и k-m поперечных составляющих узловых напряжений требуется 2k-m уравнений. Для упрощения, будем считать, что необходимо 2k уравнений, добавляя при этом к реальным измерениям m равных нулю псевдоизмерений поперечных составляющих напряжений в опорных узлах каждой из подсистем (введение дополнительных псевдозамеров соответствует фиксации фаз этих узлов).

Уравнения, отражающие связь между независимыми и измеряемыми параметрами режима, образуют исходную нелинейную систему (1):

          (1)

Решение нелинейной системы (1) возможно лишь итерационными методами, предполагающими линеаризацию исходных уравнений на каждой итерации вычислительного процесса.

Линеаризованная система имеет вид:

          (2)

Необходимым условием существования решения линейной системы (2) является полный ранг матрицы коэффициентов:

Предположим, что это условие выполняется (в противном случае имеет место ненаблюдаемость режима). Тогда, при отсутствии погрешностей измерений (W=0), из общего числа уравнений, которое, как правило, превышает число независимых переменных, необходимо было бы выбрать 2k линейно независимых и, опираясь на эти уравнения, определить искомые параметры. Однако, если в число независимых переменных включить и погрешности измерений (W≠0), то переопределенная система становится недоопределенной, имеющей множество решений. В таком случае для получения единственного решения должно быть введено дополнительное условие.

Для данной задачи приемлемые результаты достигаются при использовании в качестве дополнительного условия требования минимизации одной из следующих целевых функций:

          (3)

          (4)

Функция (3) является целевой для метода взвешенных наименьших квадратов (МВНК), а функция (4) – наименьших модулей (МНМ). Оптимизация первой выполняется методами нелинейного программирования [4, 5], а второй – линейного [6]. Каждый из методов имеет свои преимущества и недостатки и выбор в пользу одного из них зависит от объема схемы замещения, уровня избыточности измерений, необходимости учета ограничений на рассчитываемые параметры и числа заданных ограничений, требований быстродействия и др.

Наблюдаемость зависит как от общего числа измерений, так и от их расположения на схеме замещения. В реальных условиях очень часто возникают ситуации, когда наблюдаемость режима не обеспечивается при общем числе измерений, значительно превышающем минимально необходимое (из-за их неравномерного распределения).

Алгебраические критерии наблюдаемости опираются на проверку свойств матриц коэффициентов линеаризованной системы. Ненаблюдаемость обуславливается дефицитом линейно независимых уравнений в системе (2) и приводит к уменьшению ранга матрицы коэффициентов:

Выявить ненаблюдаемость можно в процессе разложения (5):

          (5)

Для проверки наблюдаемости в программе реализован подход, основанный на сравнении свойств системы уравнений, составленной на основе реальных измерений, со свойствами системы, расширенной за счет псевдоизмерений узловых мощностей, и, следовательно, гарантированно наблюдаемой. Разложение (5) выполняется с выбором ведущего элемента в пределах каждого из столбцов. При выборе преимущество отдается строкам, соответствующим реальным измерениям. Если в процессе разложения оказывается, что в пределах очередного столбца нет элементов, отличных от нуля и относящихся к реальным измерениям, привлекаются резервные строки из числа псевдоизмерений. Таким образом, на момент окончания разложения число используемых псевдоизмерений будет минимальным, лишь компенсирующим дефицит линейно независимых уравнений. Как правило, при определении псевдоизмерений используются статистические и детерминированные зависимости между нагрузками активной мощности отдельных узлов или районов [7].

Устранение грубых ошибок в измерениях выполняется в два этапа. Первый связан с проверкой простейших соотношений и осуществляется перед началом итерационного счета, второй – в процессе расчета режима [2].

Если при оценивании минимизируется целевая функция МВНК, то второй этап отбраковки основывается на последовательном выведении из расчета измерений, вносящих максимальный вклад в целевую функцию в точке ее оптимума. Устранение грубых ошибок опирается на использование эффективных алгоритмов коррекции решения при изменении числа строк в исходной системе уравнений (каждая дополнительная строка компенсирует влияние ошибочного измерения).

При использовании в качестве основы алгоритма оценивания МНМ потребность в специальных средствах отбраковки ошибочных измерений отпадает. Особенность подхода состоит в том, что в точке оптимума определяется некоторый состав базисных измерений, в наименьшей степени конфликтующих с контрольными небазисными измерениями. Очевидно, ошибочное уравнение может остаться среди базисных и, в конечном счете, оказывать влияние на результат лишь в случае, когда ошибку вообще не удается идентифицировать по располагаемым измерениям вследствие небольшой избыточности.

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ РЕЖИМОВ В ПОЛЬЗУ НИЖНЕГО УРОВНЯ

Как отмечалось выше, энергосистемы, в большинстве случаев, не располагают в достаточном объеме информацией о режиме смежных энергосистем. Однако для адекватного решения задач имитационного моделирования необходимо, чтобы в математической модели было представлены схемы соседних систем, хотя, возможно, и в упрощенном виде.

Рассмотрим, для примера, Объединенную энергосистему Урала, включающую восемь энергосистем. На уровне ОЭС решается задача оценивания режимов по схеме объемом 833 узла 1337 ветвей. Схема включает в себя сети напряжений 500 – 220 – 110 кв. При этом в данной расчетной схеме все энергосистемы, за исключением Тюменьэнерго, представлены не более, чем 100 узлами. Сети напряжения 500 и 220 кв представлены без упрощения, а сети 110 кв (всего около 450 узлов) существенно упрощены. Такой подход к формированию расчетной схемы полностью оправдан – в оперативном ведении диспетчерского персонала находятся сети 500 и частично 220 кв.

В энергосистемах нижнего уровня расчетные схемы являются более подробными и сети напряжения 110 кв представлены более полно, без существенных упрощений. Для примера Свердловэнерго представлена в схеме ОЭС 99 узлами и 163 ветвями, а для собственных целей проводят расчеты по схеме объемом 536 узлов и 747 ветвей. В этой схеме представлено и внешнее окружение, хотя и не обеспечено телеметрией. Объем собственной схемы составляет 494 узла и 693 ветви.

Формирование модели режима для одной из систем, входящих в энергообъединение, может быть реализовано следующим образом:

• выполняется оценивание по собственной расчетной схеме;
• запрашивается описание модели верхнего уровня с результатами оценивания состояния, выполненными на основе телеметрии за то же время, что и собственной схемы;
• от собственной схемы отсекается внешнее окружение – узлы и ветви соседних энергосистем, за исключением межсистемных связей и узлов их примыкания;
• при необходимости изменяются номера собственных узлов и узлов примыкания;
• из схемы верхнего уровня удаляются узлы, схемы энергосистемы нижнего уровня (сохраняются лишь межсистемные связи объединенной и собственной энергосистем, а также узлы примыкания);
• изменяются номера узлов оставшейся части энергосистемы верхнего уровня;
• выполняется объединение расчетных схем;
• выполняется оценивание режима по объединенной схеме.

Цель выполнения этапов, связанных с изменением нумерации узлов, состоит в том, чтобы не допустить появления узлов с одинаковыми номерами после объединения. Такая ситуация вполне вероятна, поскольку исторически сложилось, что номера в каждой из энергосистем, а также номера узлов в схеме энергообъединения задавались независимо друг от друга. Как правило, изменение номеров узлов выполняется не индивидуально, а все номера, за исключением узлов примыкания межсистемных связей, сдвигаются на некоторый диапазон. Новые номера для узлов примыкания межсистемных связей задаются индивидуально.

Преобразования, описанные выше, выполняются на основе некоторой инструктивной информации. В ней указывается, какие из узлов должны быть удалены из расчетных схем и каким образом следует перенумеровать оставшиеся. Инструктивная информация готовится однократно и каждый раз используется при выполнении директивы формирования единой расчетной схемы.

Приведенная ниже таблица характеризует процесс объединения расчетных схем Центральной энергосистемы (ЦЭС) и ОЭС Украины.

Вторая строка характеризует ту же схему, что и первая, но после удаления внешнего окружения (оставлены межсистемные связи и узлы примыкания). В третьей строке приведены характеристики схемы верхнего уровня, а в четвертой – той же схемы, но после удаления узлов и ветвей, относящихся к ЦЭС (также оставлены межсистемные связи и узлы примыкания). В последней строке приводятся характеристики объединенной схемы.

Кроме объединения таблиц с информацией об узлах и ветвях, объединяются и описания схем первичных коммутаций, а также графические изображения схем энергосистем и их фрагментов.

В большинстве энергосистем, которые описанным выше способом формируют для себя внешнее окружение, информация с описанием схем верхнего уровня передается по запросу, причем расчет режима, соответствует той же временной координате, что и режим собственной схемы. Предполагается создать систему автоматической рассылки описаний схем верхнего уровня в заинтересованные системы нижнего уровня. Пересылка схем может осуществляться после завершения расчета на уровне объединенной энергосистемы. Естественно, программа оценивания состояния на верхнем уровне должна работать в циклическом режиме и запускаться через фиксированные интервалы времени по инициативе диспетчера реального времени.

Описанный подход можно отнести к иерархическим расчетам, выполняемым в пользу нижнего уровня. Опыт эксплуатации программы формирования внешнего окружения подтвердил эффективность принятых решений. Экспертные оценки показывают, что качество модели, формируемой с использованием иерархического подхода, намного выше, чем получается при формировании описания режима на основе измерений, ретранслируемых из соседних энергосистем.

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ РЕЖИМОВ В ПОЛЬЗУ ВЕРХНЕГО УРОВНЯ

Предпосылки к формированию режима энергообъединения по иерархическому принципу создаются широким внедрением программы оценивания состояния на уровне энергосистем. К основным факторам, склоняющим в пользу иерархического подхода можно отнести следующие:

• на нижнем уровне объем телеметрической информации, характеризующей режим собственной энергосистемы, значительно превышает объем информации о соответствующем объекте, поступающий на верхний уровень;
• знания о реальном состоянии собственной системы на нижнем уровне более полные, чем на верхнем.

В процессе разработки методики и программного обеспечения сравнивались и апробировались различные варианты решения задачи. В настоящий момент представляется наиболее целесообразным следующий подход. Оценивание состояния выполняется как и в энергосистемах нижнего уровня, так и на верхнем уровне. При этом на верхнем уровне повторяются расчеты, выполненные в каждой из подсистем, и затем на их основе формируется единая схема и после этого выполняется завершающая фаза оценивания состояния. Преимущества данного подхода таковы:

• обмен информацией между уровнями минимизирован – оперативно передаются телеизмерения и телесигналы, а также незначительный объем некоторых дополнительных данных;
• сопровождение расчетных схем выполняется в энергосистемах нижнего уровня;
• при расчетах в подсистемах нижнего уровня решаются вопросы восполнения дефицита телеметрии за счет использования псевдоизмерений; подбор базового режима для обеспечения наибольшего правдоподобия псевдоизмерений также должен выполняться на нижнем уровне;
• отбраковка измерений, содержащих грубые ошибки, выполняется при расчетах отдельно в каждой из энергосистем.

Очевидно, если во всех подсистемах эффективно решены вопросы обеспечения наблюдаемости и отбраковки грубых ошибок в измерениях, то оценивание по синтезированной схеме не должно быть сопряжено с существенными трудностями.

Дополнительным фактором, облегчающим проведение расчетов по объединенной схеме, может быть использование приближений по напряжениям, полученным в каждой из оцениваемых подсистем. При этом модули напряжений могут быть использованы непосредственно, а для фаз напряжений необходим синхронный разворот углов, единый для всех узлов каждой из подсистем. Необходимость последнего объясняется тем, что при расчетах режимов в каждой из подсистем назначается собственный узел, опорный по фазе напряжения. В результате фазы напряжений остальных узлов определяются относительно принятых опорных. Очевидно, если сохраняются напряжения при объединении подсистем, потоки мощности по внутренним связям не изменяются, а потоки по связям между подсистемами определяются разностью напряжений узлов, рассчитанных относительно различных опорных. Если развернуть фазы напряжений в узлах какой – либо из подсистем на один и тот же угол, то потоки по внутренним связям останутся такими же, как и при отсутствии разворота, а потоки по межсистемным связям можно приблизить к рассчитанным в подсистемах. Учитывая этот фактор, прежде чем переходить к завершающей стадии расчета, с целью экономии времени целесообразно определить углы синхронных разворотов фаз напряжений независимо рассчитанных подсистем, при которых минимизируется все та же принятая целевая функция. Поскольку опорный узел одной из подсистем сохраняется таковым и в объединенной расчетной схеме, число параметров, по которым выполняется оптимизация, будет равно числу подсистем, уменьшенному на единицу. Это существенно меньше, чем общее число узлов объединенной схемы.

К недостатку предложенного подхода следует отнести необходимость повторного проведения расчетов энергосистем нижнего уровня на верхнем. Однако, учитывая высокое быстродействие современной вычислительной техники, этот недостаток перекрывается явными выгодами. При этом следует иметь в виду, что время, необходимое для проведения расчета по схеме порядка 700 узлов, не превышает 2 сек.

Для обеспечения полного соответствия результатов повторного расчета на верхнем уровне тем, что были получены на нижнем уровне, необходимо, чтобы на обоих уровнях использовались как идентичные по составу и значениям измерения и сигналы, так и одинаковые расчетные модели. Информация, включающая телеизмерения и телесигналы, а также некоторые результаты расчета, должна передаваться после завершения решения задачи оценивания состояния на нижнем уровне. Описания моделей энергосистем нижнего уровня на верхний могут пересылаться только в случаях, когда в них вносятся изменения. Если оперативная информация перед пересылкой сжимается, то объемы оперативной информации и полного описания моделей соотносятся примерно как 1 к 100. Для передачи оперативной информации желательно использовать высокоскоростные выделенные каналы межмашинного обмена, а для передачи описаний моделей могут использоваться каналы Интернет. Некоторое запаздывание в передаче измененной модели не может привести к серьезному снижению качества результатов.

Для хранения оперативной информации и описаний моделей на верхнем уровне должны быть организованы две базы данных – для описаний расчетных моделей и для оперативной информации. В разработанном программном обеспечении предусмотрены средства для их ведения и просмотра.

При необходимости выполнения иерархического оценивания за заданное время требуемая информация с помощью специальных средств извлекается из базы. При этом определяется, на основании какой из сохраняемых расчетных моделей должен выполняться повторный расчет режима на верхнем уровне для каждой из подсистем.

После завершения последнего из процессов, связанных с оцениванием состояния каждой из подсистем, запускается программа синтеза единой расчетной схемы. Она выполняет следующие преобразования:

• выделяет из каждой подсистемы собственные узлы и узлы примыкания связей между подсистемами;
• выполняет перенумерацию узлов с целью исключения возможности использование одних и тех же номеров в разных подсистемах;
• проверяет правильность идентификации межсистемных связей и объединяет таблицы узлов и ветвей;
• объединяет описания схем первичных коммутаций станций и подстанций;
• составляет набор графических изображений, состоящий из схем энергосистем и схемы основной системообразующей сети единой энергосистемы;
• выполняет синхронный разворот фаз напряжений в каждой из подсистем, обеспечивающий минимум небалансов потоков мощности по связям между подсистемами.

Далее, после завершения синтеза, выполняется оценивание состояния по единой схеме с использованием псевдоизмерений, рассчитанных в каждой из подсистем, с учетом отбракованных измерений и приближений по напряжениям.

Программное обеспечение для решения задачи иерархического оценивания разработано на основе комплекса КОСМОС, предназначенного для оперативных расчетов режимов энергосистем на основе телеметрической информации. Базовая программа была переработана, прежде всего - для обеспечения возможности одновременного проведения расчетов и анализа результатов нескольких энергосистем. Разработан специальный многооконный интерфейс, позволяющий просматривать и анализировать результаты расчета как каждой из энергосистем в отдельности, так и энергообъединения в целом.

После завершения технолог может просмотреть итоговую таблицу, в которую сведены основные характеристики оценивания в каждой из подсистем:

• число ненаблюдаемых фрагментов по активной и реактивной мощностям;
• число исключенных грубых ошибок в измерениях;
• среднеквадратичные отклонения измерений активных и реактивных мощностей и напряжений.

Результат иерархического расчета по синтезированной схеме отображается в дополнительном окне и обеспечивается теми же средствами анализа, что и расчеты, выполненные на основе моделей энергосистем нижнего уровня.

На верхнем уровне после завершения расчета можно получить доступ ко всей информации, которой располагают технологи отдельных энергосистем, и, кроме того, увидеть интегральные величины, например, суммарное потребление, генерацию, потери по объединению в целом. Средства анализа, предусмотренные в комплексе КОСМОС, без больших проблем настраиваются под потребности конкретного пользователя.

Описанная выше методика ориентирована на выполнение расчетов по запросу. Однако могут выполняться и циклические оперативные расчеты по описанной выше методике. Основанием для запуска иерархического расчета должно служить поступление оперативной информации от всех систем нижнего уровня за одно и то же время. Результаты работы программы иерархического оценивания, функционирующей в циклическом режиме должны заноситься в базу оцененных режимов и становиться доступными для всех участников процесса иерархических расчетов.

Информация, описывающая модель режима объединенной энергосистемы, далее может быть использована для расчетов по программам, входящим в состав комплекса КОСМОС, а также может экспортироваться для использования другими программными комплексами.

Программное обеспечение для иерархических расчетов режимов в интересах верхнего уровня внедрено в ЦДУ ЕЭС России и в течение двух лет используется для формирования режимов Единой энергосистемы на основе результатов, получаемых при расчетах режимов пяти ОЭС. В таблице 2 приведены характеристики расчетных схем.

Общее время выполнения расчета, включающее повторное оценивание схем энергосистем нижнего уровня, формирование единой расчетной схемы и завершающую фазу расчета по полной схеме составляет порядка 6 – 7 секунд. Качество результатов соответствует требованиям по точности решения задач на уровне ЦДУ.

В настоящее время программа внедряется в Федеральной сетевой компании и Объединенном диспетчерском управлении Урала (Россия).

Реализация такого подхода представляется перспективной и для Украины. Предполагается, что схема ОЭС Украины может быть сформирована на основе режимов, получаемых при расчетах на уровне энергосистем.

1. Гамм А.З. Статистические методы оценивания состояния электроэнергетических систем. -М.: Наука, 1976. –220с.
2. Прихно В.Л., Ефимов Ю.П. Оценивание режимов энергосистем на основе телеметрической информации//Моделирование электроэнергетических систем в АСДУ на основе микропроцессорной техники: Сб. науч. тр. – Киев: Ин-т электродинамики НАН Украины, 1994. –С. 92-116.
3. Демчук А.Т., Хватова Н.Г., Прихно В.Л. Формирование на основе оцененных режимов в энергосистемах и ОДУ Урала единого электрического режима. //в сб.докл.: Управление режимами Единой энергосистемы России. – Москва: ОАО «ЦДУ ЕЭС России». – 2002. С. 110-116.
4. Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. Практическая оптимизация. – М.: Мир, 1985. –509 c.
5. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов - М.:Наука, 1986. – 230с.
6. Муртаф Б. Современное линейное программирование. – М.: Мир, 1984. –224c.
7. Прихно В.Л., Черненко П.А. Оперативный расчет стационарного режима энергообъединения при недостатке телеизмерений //Электричество.-1985. №12. –С. 12-15.